Hàm số f ( z ) = z ¯ {\displaystyle f(z)={\bar {z}}} không khả vi phức tại không vì giá trị của f ( z ) − f ( 0 ) z − 0 {\displaystyle f(z)-f(0) \over z-0} thay đổi tùy thuộc vào hướng tiếp cận đến không. Trên trục thực, f có giá trị bằng hàm số g(z) = z và giới hạn là 1, trong khi trên trục ảo, f bằng hàm số h(z) = −z và có giới hạn bằng −1. Những phương khác cũng cho các giới hạn khác nhau.

Với hàm một biến phức f nhận giá trị phức, đạo hàm của f tại z0 trong tập xác định của nó được định nghĩa bởi giới hạn[3]

f ′ ( z 0 ) = lim z → z 0 f ( z ) − f ( z 0 ) z − z 0 . {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}.}

Công thức này giống với định nghĩa đạo hàm của hàm số thực, trừ việc tất cả đại lượng đều nhận giá trị phức. Cụ thể hơn, giới hạn được lấy khi số phức ztiếp cận z0, và phải có cùng một giá trị cho mọi dãy số phức tiến về z0 trên mặt phẳng phức. Nếu giới hạn đó tồn tại, ta nói f khả vi phức tại z0. Định nghĩa này của tính khả vi phức có nhiều điểm chung với khả vi thực: nó tuyến tính và tuân theo quy tắc nhân, quy tắc chia, và quy tắc hàm hợp.[4]

Nếu f khả vi phức tại mọi điểm z0 trong một tập mở U, ta nói f chỉnh hình trên U. Hàm f được gọi là chỉnh hình tại điểm z0 nếu f khả vi phức trên một lân cận nào đó của z0.[5] Ta nói f chỉnh hình trên một tập A không mở nếu như nó chỉnh hình trên một tập mở chứa A. Một ví dụ, hàm số z khả vi phức tại đúng một điểm (z0 = 0), và vì thế, nó không chỉnh hình tại 0 vì f không khả vi phức trên tập mở nào chứa 0 cả.

Mối liên hệ giữa tính khả vi thực và phức như sau. Nếu một hàm phức f(x + i y) = u(x, y) + i v(x, y) chỉnh hình, thì u và v có đạo hàm riêng cấp một đối với x và y, và thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann:[6]

∂ u ∂ x = ∂ v ∂ y v a ` ∂ u ∂ y = − ∂ v ∂ x {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad \mathrm {v{\grave {a}}} \qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,}

Một cách khác tương đương là, đạo hàm Wirtinger của f đối với số phức liên hợp của z bằng không:[7]

∂ f ∂ z ¯ = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=0,}

từ đây ta có thể tạm nói rằng, f độc lập với số phức liên hợp của z.

Nếu không có giả thiết về tính liên tục, điều ngược lại không nhất thiết đúng. Một mệnh đề đảo đơn giản là nếu u và v có đạo hàm riêng bậc nhất liên tục vào thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì f là chỉnh hình. Một mệnh đề đảo mạnh hơn, và cũng khó chứng minh hơn rất nhiều, là định lý Looman–Menchoff: nếu f liên tục, u và v có đạo hàm riêng bậc nhất (không nhất thiết liên tục), và thỏa mãn phương trình Cauchy–Riemann thì f là chỉnh hình.[8]

Một hàm song chỉnh hình là một hàm chỉnh hình song ánh sao cho hàm ngược của nó cũng là một hàm chỉnh hình.